int_0^1xe^xdx এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): আমরা \(\int_0^1 xe^x dx\) এর মান নির্ণয় করব। এখানে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করব। ফর্মুলা: \(\int u v dx = u \int v dx - \int ( \frac{du}{dx} \int v dx) dx\) ধরি, \(u = x\) এবং \(v = e^x\) তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 1\) এবং \(\int v dx = \int e^x dx = e^x\) এখন, \(\int_0^1 xe^x dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x dx\) \(= \left[ x e^x \right]_0^1 - \left[ e^x \right]_0^1\) \(= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0)\) \(= e - (e - 1)\) \(= e - e + 1\) \(= 1\) সুতরাং, \(\int_0^1 xe^x dx = 1\) 🎉